O empréstimo para o fazendeiro

Um fazendeiro foi ao encontro de seu gerente de banco pedir um empréstimo para comprar animais. O gerente fez um acordo com o ele. Ele disse que emprestaria R$ 100,00 e que o fazendeiro não precisaria devolver o dinheiro ao banco caso conseguisse comprar exatamente 100 cabeças (animais) com os R$ 100,00.

A única regra do acordo era que o fazendeiro comprasse pelo menos um animal de cada um desses tipos: bois, porcos e ovelhas. Cada boi custa R$ 10,00. Cada porco custa R$ 3,00 e as ovelhas custam, cada uma, R$ 0,50. Quantos animais de cada tipo o fazendeiro comprou?

Dica

Monte um sistema para resolver o problema.

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Resposta

Admita “b” como sendo o número de bois comprados, “p” com sendo o número de porcos comprados, e “v” como sendo o número de ovelhas compradas. Sabemos que o número total de animais comprados é 100. Além disso, sabemos também que o valor total da compra será de 100 reais. Portanto, temos duas equações:

  • b + p + v = 100 (I)
  • 10b + 3p + 0.5v = 100 (II)

Multiplicando a equação II por 2, temos:

20b + 6p + v = 200

Se subtrairmos a equação I da equação acima, eliminaremos “v” e teremos a seguinte equação:

19b + 5p = 100

Reescrevendo:

100 – 19b = 5p

Uma vez que “b” e “p” são números inteiros não-negativos, nós podemos definir as possíveis soluções rapidamente. Sabemos que “b” não pode ser maior ou igual a 6, porque “p”, nesse caso, seria negativo. Com isso, podemos somente considerar 1, 2, 3, 4 e 5 como valores possíveis de “b”. Substituir 1, 2, 3 ou 4 em “b”, entretanto, torna o lado esquerdo da equação não-divisível por 5, o que faria com que “p” fosse um número não-inteiro. Logo, “b” deve ser 5. Substituindo “b” na equação acima, temos:

100 – 19b = 5p
100 – 95 = 5p
5 = 5p
p = 1

Agora, podemos substituir os valores de “b” e “p” em uma das equações originais (substituir na equação I torna a resolução mais fácil), e achar “v”:

b + p + v = 100
5 + 1 + v = 100
6 + v = 100
v = 100 – 6
v = 94

Portanto, o fazendeiro comprou 5 bois (R$ 50,00), 1 porco (R$ 3,00) e 94 ovelhas (R$ 47,00).

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3 comentários em “O empréstimo para o fazendeiro”

    • Pessoal, montei duas equações, considerando X – numero de bois, Y, número de porcos e Z , número de ovelhas. ficando então:,,
      X + Y + Z = 100 ( esta 1ª equação multiplico toda por -10 , para eliminar o X
      10X + 3Y +0,5Z = 100

      -10X – 10Y – 10Z = – 1000
      10X + 3Y + 0,5Z = 100 corto os 10 X ficando então, 7X + 9,5 Z = 900

      Como sei que tem que ter no minomo um animal de cada, eu sai chutandod o X = 1
      Para fazer o X= 1 eu tenho Y + Z = 99 ( 100 menos o um boi que tirei);
      Fazendo os cálculos, não dá certo, dai concluo que o temos mais de um boi. Então chuto que temos só um porco, e ai dá certo:

      X – Z = 99 * por -10 para escalonar com a equação de baixo
      10X + 0,5Z = 97 (100 – 3 do um porco = 97 )

      -10X – 10Z = – 990
      10X +0,5Z = 97 – cortando os X , fica que 9,5Z = 893 , Z = 94 ovelhas ;
      O resto é mole, se Z = 94 ; Y = 1 , X tem que ser 5 – fecha os 100 bichos !!!
      94 ovelhas * 0,5 reais = 47 reais;
      01 porco * 3 reais = 3 reais;
      05 bois * 10 reais = 50 reais.

      Entenderam!!!

      Abraços!!!

      Responder
    • 5 bois = 50,00
      1 porco = 3,00
      94 ovelhas = 46,00

      5 + 1 + 94 = 100 cabeças
      50,00 + 3,00 + 46,00 = R$100,00

      O colega Lucas está enganado: O total de cabeças não confere com o que foi pedido. Sorry!

      Responder

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